LIMITES

UNIDAD EDUCATIVA "EL ORO"
NOMBRE: LEONARDO JOEL CRUZ CABRERA
CURSO: 3 DE BACHILLERATO "H"

El término que ahora vamos a analizar es interesante recalcar que está formado por la unión de dos vocablos que tienen su origen etimológico en lenguas antiguas. Así, límites procede de la palabra latina limes, que es el genitivo de limitis que puede traducirse como borde o frontera de algo.
Por su parte, matemáticos es una palabra que tiene su citado origen en el griego y concretamente en el término mathema. Este puede definirse como el estudio de un tema o asunto determinado.
La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal.
Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.
No obstante, además del límite citado, no podemos obviar que existen otros muy importantes en el ámbito de las Matemáticas. Así, también se puede hablar del límite de una sucesión que puede ser existente o único y divergente, en el caso de que los términos de aquella no converjan en ningún punto.
De la misma manera, también hay que hablar de otra serie de límites matemáticos tales como el límite de una sucesión de conjuntos o el de espacios topológicos. Entre estos últimos están los que hacen referencia a los filtros o a las redes.
Finalmente tampoco podemos pasar por alto la existencia de lo que se conoce como Límite de Banach. Este último, que recibe el nombre del matemático polaco Stefan Banach, es aquel que gira entorno a lo que se conoce como espacio de Banach. Este es una pieza fundamental dentro de lo que es el análisis funcional y puede definirse como el espacio donde están funciones que cuentan con una dimensión infinita.
Al igual que otros conceptos matemáticos, los límites cumplen con diversas propiedades generales que ayudan a simplificar los cálculos. Sin embargo, puede resultar muy difícil comprender esta idea ya que se trata de un concepto abstracto.
En matemática, la noción está vinculada con la variación de los valores que toman las funciones o sucesiones y con la idea de aproximación entre números. Esta herramienta ayuda a estudiar el comportamiento de la función o de la sucesión cuando se acercan a un punto dado.
La definición formal del límite matemático fue desarrollada por diversos teóricos de todo el mundo a lo largo de los años, con trabajos que constituyeron la base del cálculo infinitesimal.

Límite de una función• El límite de una función es el valor al cual se aproxima la función cuando X tiene un valor determinado.
Límites laterales• Los límites laterales son aquellos que se calculan para:X (este signo significa tendiendo) a un valor por la izquierda y por la derecha.Para que exista el límite de una función los límites laterales deben ser iguales. Para calcular un límite hay que reemplazar la X por el valor al cual tiende X

 Distintos valores de límites:• Lim (3x – 2)³ = (3.0 – 2)³ = – 8X 0En esta situación podemos ver que el resultado nos da un número común y el cálculo finalizaría ahí. Es un límite con valor de un número real.

 • Lim -2 = -2 = -2 = ∞X 1 x-1 1-1 0En esta situación el valor del límite tiende a infinito ya que el numerador es un número real y el denominador es 0, por lo tanto ese resultado tiende a infinito• Lim x² – 3x – 4 = 4² – 3.4 – 4 = 16 – 12 – 4 = 0 = 0X 4 2x + 1 2.4 + 1 8+1 9En esta situación el valor del límite da cero ya que el numerador es 0 y el denominador es un número real, por lo tanto el resultado tiende a 0.

 Límite indeterminado• Hay varios tipos de límites en forma indeterminada entre ellas están las que vamos a usar acá que son:-Cero sobre cero- Infinito sobre infinito 0 ∞ 0 ∞

•   Lim x² – 1 = 0X 1 x–1 0 IndeterminaciónLim (x – 1)(x + 1) = 2X 1 (x – 1)En esta situación es un límite indeterminado cero sobre cero, por lo tanto hay que realizar el paso anterior de cuando llegamos a x² - 1 sería una factorización.
•   Lim x³ + 1 = (-1)³ + 1 = 0X -1 x+1 -1 + 1 0 IndeterminaciónRuffini: 1 0 0 1 –1 -1 1 -1 1 -1 1 0Lim (x+1)(x² - x +1) = (-1)² - (-1) +1 = 3X -1 (x+1) 0Esta es otra situación de indeterminación cero sobre cero, y lo resolvemos ayudándonos aplicando Ruffini.
• . Lim 2x³ - 5x = ∞X ∞ 3x³ + x² - 1 ∞Lim 2x³ - 5xX ∞ x³ x³² = 2-0 =2 3x³ + x² - 1 3+0-0 3 x³ x³ x³En este caso es un límite indeterminado ∞ sobre ∞ y pueden ocurrir 3 situaciones distintas, en esta cuestión el límite es igual a un número porque el grado del numerador es igual al grado del denominador. Ese número coincide con los coeficientes principales del numerador y del denominador.
• .  Lim x² + 2x – 1 = ∞X ∞ x – 3x³ ∞ Lim x² + 2x – 1X ∞ x ² x ³ x = 0 + 0 + 0 = 0 = 0 x – 3x³ 1+0 1 x xEsta es una segunda situación de tipo ∞ sobre ∞, en este caso el límite es igual a 0 porque el grado del numerador es menor que el del denominador.
•   Lim x² - 5x + 7 = ∞X ∞ 4x + 9 ∞Lim x² - 5x + 7X ∞ x² x² x² = 1 – 0 + 0 = 1 = ∞ 4x + 9 0+0 0 x² x²Esta es el tercer tipo de situación en un límite indeterminado ∞ sobre ∞, en este caso el límite es igual a ∞ porque el grado del numerador es mayor que el del denominador. 

 GRAFICOS DE LIMITES:

APLICACIONES DE LIMITES: